**Interesting Math Problems**
Fans of Leaf God 🍃
“先有强哥后有天，知易道君还在前”
## 一个某人不会做的导数题
2022.5.24
已知函数 $f(x) = \frac 1 2 x^2 - a(x - \ln x)$。
1. 若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$ 且 $x_1< x_2$，求实数 $a$ 的取值范围。
2. 若在满足上一问的条件下，不等式 $f(x_1) - f(x_2) > b(x_1^2 - x_2^2)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围。
## 立方体随机游走 (Easy Version)
2022.5.26
对于如图所示的立方体，在 $0$ 时刻 $A$ 点有一只胖蜗牛，相邻时刻间胖蜗牛会在相邻的三个立方体节点中均匀随机一个，作为下一时刻的位置。
令 $p_n$ 表示对于时刻 $n$，胖蜗牛出现在 $A$ 点的概率，求 $p_n$ 的通项公式。
*********************
* *-----------*
* /| /|
* / | / |
* *-----------* |
* | | | |
* | | | |
* | *--------|--*
* | / | /
* |/ |/
* *-----------*
* A
*********************
## 一个超级简单的数列题
2022.5.27
设数列 $\{a_n\}$ 满足：若 $n=2k-1 \, (k \in \mathbb N^*)$，$a_n=n$；若 $n=2k \, (k \in \mathbb N^*)$，$a_n=a_k$。
1. 若 $S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots +a_{2^{n}-1}+a_{2^{n}}$，求证：$S_n=4^{n-1}+S_{n-1} (n \ge 2)$。
2. 证明：$\displaystyle \frac 1 {S_1} + \frac 1 {S_2} + \frac 1 {S_3} + \ldots + \frac 1 {S_n} < 1 - \frac 1 {4^n}$。
## 一个有点意思的数列题
2022.5.28
by 知乎用户 Way
设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=3,\,a_{n+1}=a_n^2-a_n-\dfrac 5 4$。
记 $b_n=\dfrac{2a_n-1+\sqrt{4a_n^2-4a_n-15}} 4$。
1. 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式，并据此写出 $\{a_n\}$ 的通项公式。
2. 设各项都为整数的数列 $\{c_n\}$ 满足：$c_n\le a_n < c_n+1,\, n\in \mathrm N^*$，记 $d_n=\dfrac{c_n}{c_{n+1}-1}$，证明：
$$
d_1+d_2+d_3+\ldots +d_n< \dfrac 4 3 \,,\quad n \in \mathrm N^*
$$
## 一道供题人自己做错的简单概率题
2022.5.29
by 507 董阳
对于一个魔方，定义一次随机拧角操作为随机顺时针或逆时针旋转一个角块，问 $n$ 次后此魔方能被还原的概率。
原命题等价于，定义变量 $X$ 的初始值为 $0$，每次随机拧角将分别有 $\dfrac 1 2$ 的概率将 $X$ 加上 $1$ 或 $-1$，若 $n$ 次拧角后魔方能被还原，则 $X \equiv 0 \quad (\bmod 3)$。
## 一个可能不是数列题的数列题
2022.5.30
by 知乎用户 Way
已知正整数 $m\ge 3$，设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_m=0$，$a_{n+1}=a_1\ln a_n$ $(1\le n\le m-1)$。证明：
1. $a_2\le \dfrac {a_1^2}{e}$
2. $e-\dfrac{e-1}{m-2}< a_1< e$
## 一道课后习题
2022.6.2
已知 $2bx^2+3ax-2b-3\le 0$ 对于所有 $x\in [-\sqrt 2,\sqrt 2]$ 恒成立，求 $a+b$ 的最小值。